广东开放大学离散数学（本）作业答案

广东开放大学离散数学（本）学习笔记

第一章 集合论基础

1.1 集合的基本概念

- 重点概念：

- 集合：无序、不重复元素的集合，用大写字母表示（如 \( A, B \)），元素用小写字母表示（如 \( a, b \)）。

- 集合表示法：列举法（如 \( A = \{1, 2, 3\} \)）和描述法（如 \( B = \{x \mid x \text{是偶数}\} \)）。

- 子集：若 \( A \) 中所有元素均在 \( B \) 中，则 \( A \subseteq B \)。

- 幂集：集合 \( A \) 的所有子集构成的集合，记为 \( \mathcal{P}(A) \)，其基数为 \( 2^{|A|} \)。

1.2 集合的运算

- 运算规则：

- 并集：\( A \cup B = \{x \mid x \in A \text{或} x \in B\} \)

- 交集：\( A \cap B = \{x \mid x \in A \text{且} x \in B\} \)

- 补集：\( \overline{A} = U - A \)，\( U \) 为全集。

- 对称差：\( A \Delta B = (A - B) \cup (B - A) \)

- 笛卡尔积：\( A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\} \)

例题解析：

- 题目：设 \( A = \{1, 2\} \)，\( B = \{3, 4\} \)，求 \( A \times B \) 和 \( B \times A \)。

- 解答：

- \( A \times B = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\} \)

- \( B \times A = \{(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)\} \)

- 注意：笛卡尔积是有序对，\( A \times B \neq B \times A \)。

1.3 集合的应用

- 容斥原理：\( |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \)

- 应用示例：

- 题目：某班有 30 名学生，其中 18 人喜欢数学，15 人喜欢物理，8 人既喜欢数学又喜欢物理。问有多少人既不喜欢数学也不喜欢物理？

- 解答：

- 总喜欢至少一门的人数：\( 18 + 15 - 8 = 25 \)

- 既不喜欢的人数：\( 30 - 25 = 5 \)

第二章 逻辑与证明

2.1 命题逻辑

- 命题：能判断真假的陈述句。

- 逻辑联结词：

- 否定（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）、等价（↔）

- 蕴含式：\( p \rightarrow q \) 等价于 \( \neg p \lor q \)

- 逆否命题：\( \neg q \rightarrow \neg p \) 与原命题等价。

2.2 谓词逻辑

- 全称量词（∀）和存在量词（∃）：

- 例：∀x(P(x) → Q(x)) 表示“所有满足 P 的 x 都满足 Q”。

- 注意：否定全称量词变为存在量词，否定存在量词变为全称量词。

2.3 证明方法

- 直接证明法：假设前提成立，推导结论。

- 反证法：假设结论不成立，推出矛盾。

- 数学归纳法：

- 步骤：

1. 基础步：验证 \( n = 1 \) 时命题成立。

2. 归纳步：假设 \( n = k \) 成立，证明 \( n = k+1 \) 也成立。

例题解析：

- 题目：用数学归纳法证明 \( 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} \)。

- 解答：

- 基础步：\( n = 1 \)，左边 = 1，右边 = \( \frac{1 \times 2}{2} = 1 \)，成立。

- 归纳步：假设 \( n = k \) 成立，则 \( 1 + 2 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2} \)。

- 当 \( n = k+1 \) 时，左边 = \( \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \)，与右边一致，得证。

第三章 图论

3.1 图的基本概念

- 图：由顶点（Vertex）和边（Edge）组成，分为无向图和有向图。

- 路径与回路：

- 欧拉路径：经过每条边恰好一次的路径。

- 哈密尔顿路径：经过每个顶点恰好一次的路径。

3.2 树

- 树的性质：

- 连通无环的无向图。

- 有 \( n \) 个顶点的树恰好有 \( n-1 \) 条边。

- 二叉树：每个顶点最多有两个子节点的树。

例题解析：

- 题目：判断图 \( G = (V, E) \)，其中 \( V = \{a, b, c, d\} \)，\( E = \{(a,b), (b,c), (c,d), (d,a)\} \)，是否为欧拉图？

- 解答：

- 欧拉图要求所有顶点的度数为偶数。

- 图 \( G \) 中每个顶点的度数均为 2（偶数），因此是欧拉图。

第四章 代数结构

4.1 代数系统

- 二元运算：满足封闭性的运算（如加法、乘法）。

- 群：满足封闭性、结合律、单位元、逆元的代数系统。

- 阿贝尔群：满足交换律的群。

4.2 群的例子

- 整数加法群：\( (\mathbb{Z}, +) \)

- 模 \( n \) 加法群：\( (\mathbb{Z}_n, +_n) \)

例题解析：

- 题目：证明 \( (\mathbb{Z}_5, +_5) \) 是一个群。

- 解答：

1. 封闭性：\( \mathbb{Z}_5 = \{0,1,2,3,4\} \)，模 5 加法结果仍在 \( \mathbb{Z}_5 \) 中。

2. 结合律：模运算的加法满足结合律。

3. 单位元：0 是单位元，因为 \( a +_5 0 = a \)。

4. 逆元：每个元素 \( a \) 的逆元为 \( 5 - a \)（如 1 的逆元是 4，2 的逆元是 3）。

第五章 组合数学

5.1 排列与组合

- 排列：\( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)

- 组合：\( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

- 应用：分步计数原理、分类计数原理。

5.2 鸽巢原理

- 简单形式：若 \( n+1 \) 个物体放入 \( n \) 个盒子，则至少一个盒子有至少 2 个物体。

- 加强形式：若 \( m \) 个物体放入 \( n \) 个盒子，则至少一个盒子有至少 \( \lceil \frac{m}{n} \rceil \) 个物体。

例题解析：

- 题目：证明在任意 13 个人中，至少有两个人的生日在同一个月。

- 解答

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