广东开放大学高等数学基础作业答案

以下是一篇以广东开放大学高等数学基础作业为参考的详细学习笔记，内容涵盖知识点梳理、解题思路及常见题型解析，供学习参考：

高等数学基础学习笔记

——以广东开放大学作业为例

一、课程概述

广东开放大学《高等数学基础》课程主要涵盖微积分的核心内容，包括极限与连续、导数与微分、积分及其应用等。课程注重理论与实践结合，要求学生通过作业巩固基础概念，掌握解题方法。

二、重点知识点与作业解析

1. 极限与连续

核心概念：

- 极限是微积分的基础，用于描述函数在某一点附近的变化趋势。

- 连续性：若函数在某点极限值等于该点函数值，则函数在该点连续。

典型作业题型与解法：

例题1：计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$。

- 解题步骤：

1. 利用重要极限公式 $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$。

2. 将分子中的 $3x$ 设为变量 $t$，即 $t = 3x$，当 $x \to 0$ 时，$t \to 0$。

3. 代入公式得 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t/3} = 3 \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 3 \cdot 1 = 3$。

例题2：判断函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \neq 1 \\ 2, & x = 1 \end{cases}$ 在 $x=1$ 处的连续性。

- 解题步骤：

1. 计算左极限 $\lim_{x \to 1^-} f(x) = (1)^2 = 1$。

2. 计算右极限 $\lim_{x \to 1^+} f(x) = (1)^2 = 1$。

3. 比较极限值与函数值：$\lim_{x \to 1} f(x) = 1 \neq f(1) = 2$。

4. 结论：函数在 $x=1$ 处不连续，存在可去间断点。

2. 导数与微分

核心概念：

- 导数是函数在某一点处的瞬时变化率，几何意义为切线斜率。

- 常用求导法则：四则运算、链式法则、隐函数求导等。

典型作业题型与解法：

例题3：求函数 $f(x) = e^{2x} \cdot \ln x$ 的导数。

- 解题步骤：

1. 应用乘积法则：$f'(x) = (e^{2x})' \cdot \ln x + e^{2x} \cdot (\ln x)'$。

2. 分别求导：

- $(e^{2x})' = 2e^{2x}$

- $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

3. 合并结果：$f'(x) = 2e^{2x} \ln x + \frac{e^{2x}}{x}$。

例题4：求隐函数 $x^2 + y^2 = 25$ 在点 $(3,4)$ 处的导数 $\frac{dy}{dx}$。

- 解题步骤：

1. 对方程两边同时对 $x$ 求导：$2x + 2y \cdot y' = 0$。

2. 解出 $y'$：$y' = -\frac{x}{y}$。

3. 代入点 $(3,4)$：$y' = -\frac{3}{4}$。

4. 结论：切线斜率为 $-\frac{3}{4}$。

3. 不定积分与定积分

核心概念：

- 不定积分是导数的逆运算，求原函数。

- 定积分用于计算曲边梯形面积，需注意积分上下限和牛顿-莱布尼茨公式。

典型作业题型与解法：

例题5：计算不定积分 $\int x \cdot \sin x \, dx$。

- 解题步骤：

1. 使用分部积分法：设 $u = x$，$dv = \sin x \, dx$。

2. 则 $du = dx$，$v = -\cos x$。

3. 公式代入：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，即

$-x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$。

例题6：计算定积分 $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$。

- 解题步骤：

1. 找到原函数：$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$。

2. 应用牛顿-莱布尼茨公式：

$[-\cos \pi] - [-\cos 0] = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$。

3. 结论：定积分结果为 $2$。

4. 微分中值定理与应用

核心概念：

- 罗尔定理：若函数在闭区间连续、开区间可导，且端点函数值相等，则存在一点导数为零。

- 拉格朗日中值定理：推广罗尔定理，结论为存在一点导数等于平均变化率。

典型作业题型与解法：

例题7：验证函数 $f(x) = x^3 - 3x$ 在区间 $[-2, 2]$ 上是否满足罗尔定理条件，并求对应的 $\xi$。

- 解题步骤：

1. 检查条件：

- $f(x)$ 是多项式函数，在 $[-2,2]$ 上连续、可导。

- $f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) = -8 + 6 = -2$

- $f(2) = 8 - 6 = 2$

- 发现：端点函数值不相等，因此不满足罗尔定理。

2. 结论：无法应用罗尔定理。

5. 导数的应用

核心概念：

- 利用导数判断函数的单调性、极值、凹凸性及拐点。

典型作业题型与解法：

例题8：求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2$ 的极值点。

- 解题步骤：

1. 求一阶导数：$f'(x) = 3x^2 - 6x$。

2. 令 $f'(x) = 0$，解得 $x = 0$ 或 $x = 2$。

3. 求二阶导数判断极值：

- $f''(x) = 6x - 6$

- $f''(0) = -6 < 0$ → $x=0$ 处为极大值点。

- $f''(2) = 6 > 0$ → $x=2$ 处为极小值点。

4. 结论：极大值点 $(0,0)$，极小值点 $(2,-4)$。

三、作业常见错误与注意事项

1. 极限计算：

- 忽略等价无穷小替换（如 $\sin x \sim x$ 当 $x \to 0$）。

- 分子分母未同时约分导致结果错误。

2. 导数求解：

- 链式法则应用时忘记对内层函数求导。

- 隐函数求导时