广东开放大学信息安全数学基础（本）期末考试试卷与参考答案

以下是一篇关于广东开放大学《信息安全数学基础（本）》课程的期末考试复习学习笔记，结合了知识点梳理、典型例题解析及复习建议等内容，供参考：

信息安全数学基础（本）期末复习笔记

一、试卷结构分析

根据往期考试试卷及课程大纲，期末考试通常包含以下题型及分值分布：

- 选择题（20分）：主要考察数论、群论、密码学基础等概念的理解。

- 填空题（20分）：涉及具体计算或定理的应用，如模运算、欧拉定理、RSA算法等。

- 计算题（30分）：要求运用数学工具解决实际问题，如大数分解、离散对数、椭圆曲线运算等。

- 证明题（30分）：需掌握数论定理（如费马小定理、中国剩余定理）及代数结构（如群、环、域）的证明方法。

二、核心知识点总结

1. 数论基础

（1）模运算与同余式

- 欧几里得算法：用于求两个整数的最大公约数（GCD），并可扩展为求贝祖系数（即求解方程 \(ax + by = \gcd(a,b)\)）。

- 欧拉定理：若 \(a\) 和 \(n\) 互质，则 \(a^{\phi(n)} \equiv 1 \mod n\)，其中 \(\phi(n)\) 是欧拉函数。

- 费马小定理：当 \(p\) 是质数且 \(a \not\equiv 0 \mod p\) 时，\(a^{p-1} \equiv 1 \mod p\)。

- 中国剩余定理（CRT）：解决同余方程组的求解问题，要求模数两两互质。

（2）素数与因式分解

- 素数判定：米勒-拉宾素性测试、试除法。

- 因式分解：质因数分解在RSA算法中的重要性，常见方法如Pollard's Rho算法。

（3）模指数运算与离散对数

- 快速幂算法：用于高效计算 \(a^b \mod n\)。

- 离散对数问题（DLP）：求解 \(a^x \equiv b \mod p\) 的困难性是许多密码协议（如Diffie-Hellman）的基础。

- Baby-Step Giant-Step算法：求解离散对数的典型算法。

2. 代数结构

（1）群、环、域

- 群的定义：满足封闭性、结合律、单位元、逆元的代数结构。

- 交换群与循环群：群的特殊性质及其在密码学中的应用。

- 有限域（Galois Field）：特别是 \(GF(2^n)\) 和 \(GF(p)\)，常用于AES算法和椭圆曲线密码学。

（2）椭圆曲线

- 椭圆曲线方程：\(y^2 = x^3 + ax + b \mod p\)（需满足判别式 \(\Delta \neq 0\)）。

- 点加法与标量乘法：椭圆曲线密码学（ECC）的核心运算。

- 椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）：基于其计算困难性设计的安全协议。

3. 密码学基础

（1）对称密码

- AES算法：有限域上的运算（如S盒设计、混合列变换）。

- DES/3DES：分组密码的基本原理及弱点。

（2）非对称密码

- RSA算法：基于大整数因式分解的困难性，密钥生成、加密、解密步骤。

- ElGamal算法：基于离散对数问题，密钥交换与加密过程。

- 椭圆曲线密码（ECC）：密钥生成、加密/解密及签名机制。

（3）Hash函数与数字签名

- SHA-256：分组密码设计思想在哈希函数中的应用。

- RSA签名：基于私钥的签名生成与验证。

- DSA（数字签名算法）：结合离散对数问题的签名方案。

三、典型例题解析

例题1：模运算与欧拉定理（选择题）

题目：计算 \(7^{100} \mod 17\) 的值。

解答：

- 根据费马小定理，\(7^{16} \equiv 1 \mod 17\)（因17为质数）。

- \(100 = 6 \times 16 + 4\)，因此 \(7^{100} = (7^{16})^6 \times 7^4 \equiv 1^6 \times 7^4 \mod 17\)。

- 计算 \(7^4 = 2401\)，再模17：\(2401 \div 17 = 141 \times 17 = 2397\)，余数为4。

答案：\(4\)。

例题2：中国剩余定理（填空题）

题目：解同余方程组：

\[

\begin{cases}

x \equiv 2 \mod 3 \\

x \equiv 3 \mod 5 \\

x \equiv 2 \mod 7

\end{cases}

\]

解答：

- 设 \(x = 3k + 2\)，代入第二个方程：\(3k + 2 \equiv 3 \mod 5 \Rightarrow 3k \equiv 1 \mod 5\)。

- 解得 \(k \equiv 2 \mod 5\)（因 \(3 \times 2 = 6 \equiv 1 \mod 5\)），则 \(x = 3(5m + 2) + 2 = 15m + 8\)。

- 代入第三个方程：\(15m + 8 \equiv 2 \mod 7 \Rightarrow 15m \equiv -6 \mod 7\)。

- \(15 \mod 7 = 1\)，故 \(m \equiv -6 \mod 7 \Rightarrow m \equiv 1 \mod 7\)。

- 最终 \(x = 15(7n + 1) + 8 = 105n + 23\)，最小正整数解为23。

答案：\(23\)。

例题3：RSA算法（计算题）

题目：设 \(p=5\)，\(q=11\)，选择公钥 \(e=3\)，求私钥 \(d\) 并加密明文 \(m=7\)。

解答：

1. 计算 \(n = p \times q = 55\)，\(\phi(n) = (5-1)(11-1) = 40\)。

2. 求 \(d\) 满足 \(e \times d \equiv 1 \mod \phi(n)\)，即 \(3d \equiv 1 \mod 40\)。

- 解得 \(d=27\)（因 \(3 \times 27 = 81 \equiv 1 \mod 40\)）。

3. 加密：\(c = m^e \mod n = 7^3 \mod 55 = 343 \mod 55 = 343 - 6 \times 55 = 343 - 330 = 13\)。

答案：私钥 \(d=27\)，密文 \(c=13\)。

例题4：离散对数证明（证明题）

题目：证明若 \(p\) 是质数且 \(a\) 是模 \(p\) 的本原根，则 \(a^k \mod p\) 的阶为 \(p-1\)。

解答：

- 本原根的定义：\(a\) 的阶为 \(\phi(p) = p-1\)，即 \(a^{p-1} \equiv 1 \mod p\)，且不存在更小的正整数 \(d < p-1\) 使得 \(a^d \equiv 1 \mod p\)。

- 假设 \(a^k \mod p\) 的阶为 \(d\)，则需证明 \(d = p-1\)。

- 根据阶的性质，\(d\) 必须是 \(p-1\) 的因数。

- 若 \(d < p-1\)，则存在 \(d | (p-1)\)，但 \(a^k\) 的阶为 \(